Algunos os preguntaréis cómo hemos calculado las
probabilidades a posteriori en el
comentario anterior. Pues simplemente hemos aplicado Bayes, para k hipótesis y
con cualquier probabilidad a priori (En: “Relationship inference with Familias
and R”, Chapter 2, Egeland et al., 2016):

Horror!! Vaya fórmula! Pero no es para tanto, sólo tenemos
que multiplicar cada LR por cada prior (columna
“PRODUCTO” del Excel que veréis abajo), sumar los resultados de esta
multiplicación (casilla “denominador”), y luego dividir cada producto por el
denominador (columna “POSTERIOR”). Mejor lo vemos con el ejemplo:

a) Si H1, H2 y H3 son igualmente probables a priori (1/3 cada una), obtenemos:

Si
queréis ver un ejemplo real en Familias, podéis descargaros el archivo que ha
preparado Thore. He alucinado con este archivo porque Thore ha definido las
persons y las hipótesis en español!! Cada vez tiene menos de nórdico y más de
latino… está totalmente mimetizado con nosotrosJ))Bueno,
el archivo os lo podéis descargar en este link: http://familias.name/blog/blog-dormant.fam (usando los comandos Control+s, una vez que estéis
dentro del link). Obviamente las cifras son diferentes, pero la idea es la misma. En este
archivo podéis ver cómo definir H3 (gemelos) en Familias (seleccionando “direct
match” en el pedigrí). Y además podéis comprobar que el LR de H3 vs H2 es igual
al valor de 1/RMP que obtenemos en la ventana “Case DNA data” cuando hacemos
click en “Compare DNA” (como ya discutimos en la validación del cálculo de RMP,
post del 10/01/2018)

b) Si H1 y H2 son a priori más probables que H3, obtenemos:

Que es justo lo que veíamos en las diapos de Thore.

Pero lo más importante de todo esto es destacar lo que hemos
aprendido con este ejemplo:

a) Como ya vimos, el LR no nos dice si una
hipótesis es cierta o no, más bien, si los resultados apoyan más una hipótesis
que otra (y ambas hipótesis podrían no ser ciertas!!)

b) Que en nuestros casos reales, sólo debemos
calcular probabilidades a posteriori si
nuestras hipótesis son exhaustivas, es decir, si conocemos y tenemos en cuenta
TODAS las hipótesis relevantes. Ya hemos visto con este ejemplo que existe la
posibilidad de que los resultados de ADN apoyen fuertemente una hipótesis que
tenía una probabilidad a priori extremadamente baja (H3, en el ejemplo b, con prior = 10^(-6))

La mayoría de las veces sí que conocemos las hipótesis
relevantes, por el contexto del caso. Pero ¿qué hacemos entonces si nuestras
hipótesis no son exhaustivas? Pues podemos calcular posteriors en forma de apuesta (posterior
odds), pero no probabilidades a
posteriori.

Si queréis ver cómo, darme un tiempecito y preparo otro post!

02/02/2018
Añado aquí unas imágenes que me ha mandado Thore respecto a este post. Se trata del uso de una página web en la que podéis calcular directamente las probabilidades a posteriori sin necesitad del Excel anterior. Hay de todo en Internet!!

La única precaución que hay que tener es que debemos introducir en la página la verosimilitud de cada hipótesis, no el LR. Aquí veis en ejemplo de Thore (marcador D3 del archivo de Familias anteriro: http://familias.name/blog/blog-dormant.fam)


Y una vez calculado el likelihood, ya podéis meter los datos (prior y likelihood) en la web http://psych.fullerton.edu/mbirnbaum/bayes/BayesCalc3.htm para calcular la probabilidad a posteriori:


Very useful Thore! Many thanks!